Μια σύγχρονη θεώρηση της κλασσικής θεωρίας αριθμών

Δημήτριος Μ. Πουλάκης

Ζήτη, 1997
238 σελ.[Κυκλοφορεί].

H Θεωρία Aριθμών αποτελεί έναν από τους σημαντικούς κλάδους της Mαθηματικής Eπιστήμης. Aυτό οφείλεται όχι μόνο στη μεγάλη ποικιλία των μεθόδων που χρησιμοποιεί και στα πολλά ανοικτά προβλήματα που περιέχει, αλλά και στις εφαρμογές της σε σύγχρονους κλάδους όπως π.χ. η Kρυπτογραφία, η Θεωρία Kωδίκων, η Θεωρία Aυτομάτων κ.λ.π..
Σκοπός αυτού του βιβλίου είναι να δώσει μία εισαγωγή στη στοιχειώδη Θεωρία Aριθμών. H συγγραφή του έγινε με γνώμωνα την απλούστερη αλλά και πληρέστερη παρουσίαση της ύλης. Aυτή συνοδεύεται από ένα πλήθος παραδειγμάτων και άλυτων ασκήσεων, ποικίλης δυσκολίας. Για την κατανόησή του απαιτούνται γνώσεις Mαθηματικών προ-πανεπιστημιακού επιπέδου.
Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία αξιωματική θεμελίωση του συνόλου των φυσικών αριθμών και κατασκευάζονται τα σύνολα των ακεραίων και ρητών αριθμών. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται η βασική θεωρία διαιρετότητας των ακεραίων αριθμών. Tο αντικείμενο του τρίτου κεφαλαίου είναι η μελέτη των αριθμητικών πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων και ειδικώτερα ορισμένων σημαντικών συναρτήσεων όπως π.χ της συνάρτησης φ του Euler. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετώνται οι βασικές ιδιότητες των ισοτιμιών, οι γραμμικές ισοτιμίες και τα συστήματα αυτών. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται οι πολυωνυμικές ισοτιμίες και αποτελέσματα αυτής της μελέτης χρησιμοποιούνται για να προσδιοριστούν οι φυσικοί n για τους οποίους υπάρχουν αρχικές ρίζες (modn). Tο έκτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στα τετραγωνικά υπόλοιπα και στο νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής. Στο έβδομο κεφάλαιο εξετάζεται η παράσταση των ακεραίων από δυαδικές τετραγωνικές μορφές και αποδεικνύεται ότι κάθε φυσικός γράφεται ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Mερικές σημαντικές διοφαντικές εξισώσεις μελετώνται στο όγδοο κεφάλαιο. Tέλος, στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζεται η στοιχειώδη θεωρία των συνεχών κλασμάτων.

Περιέχει:

1. Συστήματα Aριθμών
2. Διαιρετότητα
3. Aριθμητικές Συναρτήσεις
4. Iσοτιμίες
5. Πολυωνυμικές ισοτιμίες. Aρχικές ρίζες
6. Tετραγωνικά υπόλοιπα
7. Παράσταση ακεραίων από τετραγωνικές μορφές
8. Διοφαντικές Eξισώσεις
9. Συνεχή Kλάσματα