Παναγιώτης Χρ. Τσαμάτος

Τζιόλα, 2016
608 σελ.Κυκλοφορεί.

Η Τοπολογία εκτός από το τεράστιο ενδιαφέρον που παρουσιάζει ως αυτοδύναμος μαθηματικός κλάδος και παρά το σχετικά νεαρό της ηλικίας της, έχει καταξιωθεί ως ένα ισχυρό εργαλείο έρευνας και έκφρασης σ' όλους τους κλάδους της Μαθηματικής Επιστήμης. Η συνεισφορά της Τοπολογίας είναι πλέον δομική σ' όλα τα επιμέρους αντικείμενα της Μαθηματικής Ανάλυσης (Πραγματική Ανάλυση, Μιγαδική Ανάλυση, Συναρτησιακή Ανάλυση, Αρμονική Ανάλυση, Διαφορικές Εξισώσεις κ.τ.λ.). Επιπλέον, η Τοπολογία χρησιμοποιείται ευρύτατα στη Γεωμετρία, στην Άλγεβρα αλλά και σε περισσότερο εφαρμοσμένους κλάδους των Μαθηματικών, όπως η Μηχανική και η Στατιστική. Τα τελευταία μάλιστα χρόνια η Τοπολογία χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο στη δημιουργία μαθηματκών μοντέλλων που εξυπηρετούν ερευνητικά κλάδους των Θετικών Επιστημών, όπως η Οικονομία, η Μετεωρολογία, τα Ασφαλιστικά Μαθηματικά, η Επιδημιολογία στην Ιατρική κ.τ.λ.
Για όλους τους παραπάνω λόγους, η Τοπολογία είναι πλέον αναπόσπαστο τμήμα των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών προγραμμάτων σπουδών των Μαθηματικών Τμημάτων. Οι γνώσεις της Τοπολογίας που προσφέρονται σ' ένα προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών ενός Τμήματος Μαθηματικών, καλύπτουν συνήθως δύο ενότητες. Τη θεωρία των Μετρικών Χώρων και μια εισαγωγή στη Γενική Τοπολογία.
Ένας τρόπος διδασκαλίας των ενοτήτων αυτών είναι να δοθεί αρχικά η θεωρία των Μετρικών Χώρων και στη συνέχεια, ως γενίκευση, η εισαγωγή στη Γενική Τοπολογία. Ο άλλος τρόπος, είναι να ξεκινήσει κανείς με τη Γενική Τοπολογία και να δώσει στη συνέχεια, ως εφαρμογή της, τη θεωρία των Μετρικών Χώρων.
Στο βιβλίο αυτό, που προορίζεται, εκτός των άλλων, να στηρίξει διδακτικά τις ανάγκες του μαθήματος "Εισαγωγή στην Τοπολογία" του 3ου εξαμήνου του Προτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, επιλέχτηκε ο πρώτος από τους παραπάνω τρόπους. Ο λόγος είναι ότι, στο 3ο εξάμηνο των σπουδών, ο φοιτητής δεν έχει ακόμη την ωριμότητα να δεχτεί και να αφομοιώσει τις γενικές και αφηρημένες έννοιες της Γενικής Τοπολογίας. Αντίθετα, μια διεξοδική μελέτη των Μετρικών Χώρων, εκτός του ότι προετοιμάζει τον φοιτητή να δεχτεί ομαλά τις αφηρημένες δομές της Γενικής Τοπολογίας, τον βοηθάει να κατανοήσει καλύτερα τη δομή του ευκλείδειου χώρου Rn, που μελετά ταυτόχρονα το Λογισμό των Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών. [...] (Από τον πρόλογο της έκδοσης)

Περιέχει:
ΜΕΡΟΣ Ι-ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ, Μετρικοί Χώροι, Ακολουθίες σε Μετρικούς Χώρους, Μετρικοί Υποχώροι, Συναρτήσεις σε Μετρικούς Χώρους, Τοπολογία Μετρικών Χώρων, Πλήρεις Μετρικοί Χώροι, Ολικά Φραγμένοι Μετρικοί Χώροι, Συμπαγείς Μετρικοί Χώροι, Διαχωρισμοί Μετρικοί Χώροι, Συνεκτικοί Μετρικοί Χώροι,
ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ, Τοπολογικοί Χώροι, Συναρτήσεις σε Τοπολογικούς Χώρους, Τοπολογικοί Χώροι 1ης και 2ης Αριθμησιμότητας, Αξιώματα Διαχωρισμού, Συμπαγείς Τοπολογικοί Χώροι, Συνεκτικοί Τοπολογικοί Χώροι,
ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ, Ασκήσεις στις Βασικές Έννοιες των Μετρικών & Τοπολογικών Χώρων, Ασκήσεις στις Ακολουθίες, Ασκήσεις στους Μετρικούς & Τοπολογικούς Χώρους, Ασκήσεις στις Συναρτήσεις σε Μετρικούς & Τοπολογικούς Χώρους, Ασκήσεις στην Τοπολογία Μετρικού Χώρου, Ασκήσεις στους Πλήρεις Μετρικούς Χώρους, Ασκήσεις στους Ολικά Φραγμένους Μετρικούς Χώρους, Ασκήσεις στους Συμπαγείς Μετρικούς & Τοπολογικούς Χώρους, Ασκήσεις στους Συνεκτικούς Μετρικούς & Τοπολογικούς Χώρους, Ασκήσεις από όλη την ύλη της Γενικής Τοπολογίας, Θέματα απ' όλη την Ύλη, Βιβλιογραφία, Ευρετήριο όρων.